A diario nos topamos con decisiones a tomar cuyo resultado nos es incierto. Si resulta que decido ir en
combi a la universidad puede haber congestión vehicular con lo cual llego tarde; en cambio ahora puedo optar por el
metropolitano dicho sea de paso aun hoy no llega su recorrido a la
UNI. ¿Qué decisión debo tomar? ¿Qué nos conviene hacer? ¿Con que criterio resolvemos nuestras elecciones?
En ocasiones encontramos que ciertas personas eligen mejor que otras. Lo que sucede que en muchos casos estas personas aplican criterios probabilísticos aun sin saber que lo hacen.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Veamos algunos ejemplos.
Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgo pequeño de ser multados; los inversionistas estarán más interesados en invertirse dinero si las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estos casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento.
En concreto decimos que las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es un determinado evento.
Situaciones Diversas.
1. Cumpleaños: ¿Cuántas personas deberían estar presentes en un salón para que la probabilidad de que al menos dos celebren su cumpleaños el mismo día sea mayor que ½ ?
2. Colocación de tres bolas en tres celdas. Se tienen 3 bolas etiquetadas A, B y C y tres celdas enumeradas 1, 2y 3. Las bolas se colocan al azar en las celdas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una celda quede vacía?
- Se colocan r bolas en n celdas.
- Accidentes: r accidentes en 7 días de la semana.
- Estudio del efecto genético de la radiación: Las partículas a son las bolas y los cromosomas representan las celdas.
- Fotografía: Una placa fotográfica está cubierta por granos sensibles a la luz. Interesa saber el número de cuantos de luz (bolas) que golpea un grano (celda).
El Dilema de los Prisioneros.
Tres prisioneros, que llamaremos A, B y C, saben que dos de ellos serán liberados y el tercero permanecerá preso por un largo tiempo. Puesto que no se tiene ningún criterio para decidir quién es liberado y quien no, ninguno de ellos sabe quiénes serán los elegidos. El prisionero A le pide al guardia el nombre de uno de los prisioneros, distinto de ´ el mismo, a ser liberado. El guardia se niega con el siguiente argumento:”En este momento tu probabilidad de ser liberado es de 2/3. Sin embargo, si te digo el nombre de uno de los prisioneros que será liberado pasaras a ser uno de dos prisioneros a ser liberados con lo que tu chance de salir libre se reducirá a 1/2. Como no quiero perjudicarte no te diré nada.”
Ante esta extraña situación, cabe preguntarse si el razonamiento del guardia es correcto. ¿De qué manera la información suministrada por el guardia afecta el chance que el preso tiene de ser liberado? ¿Cómo podemos analizar este problema?
Uno de los aspectos más básicos de este problema es que, al ser liberados dos prisioneros, se tienen tres resultados posibles: A y B son liberados, A y C son liberados o B y C son liberados. Denotaremos estos resultados como {A, B}, {A, C} y {B, C} respectivamente.
Otro aspecto importante, es que si asumimos que los presos a ser liberados se escogen al azar, es decir, sin que prive ningún criterio de selección, la intuición sugiere que cada uno de los posibles resultados debe tener la misma posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, si hemos de asignar un numero a la posibilidad de ocurrencia de cada resultado y si asumimos que se le asigna el numero 1 a un resultado que tiene un chance de ocurrencia de 100 %, este numero debería ser el mismo para todos los resultados, en este caso 1/3 (o un chance de 33 %). Observe que la situación anterior es un caso particular de la siguiente situación más general:
Se considera una acción que puede ser repetida cuantas veces se quiera en las mismas condiciones y de la cual se obtiene en cada repetición uno y solo uno de r resultados posibles. Suponemos además que no tenemos control alguno sobre el resultado a producirse en cada realización de la acción.
Veamos ahora este dilema desde el punto de vidsta de la probabilidad.
Consideremos el experimento que consiste en seleccionar al azar un par de presos para ser liberados. Esto equivale a seleccionar al azar uno de los tres pares (no ordenados) {A, B}, {A, C} o {B, C}. Como cada par tiene probabilidad 1/3 de ser seleccionado, la probabilidad de que A sea liberado es la probabilidad de que ocurra {A, B} o {A, C}, es decir 1/3 + 1/3 = 2/3 que es lo que el guardia arma. Sin embargo en este contexto no nos es posible determinar si el hecho de que el guardia de a conocer a A la identidad de uno de los que será liberado afecta las posibilidades de A de salir libre. Para responder a esto debemos considerar un experimento con un espacio muestral (resultados) diferente. Sean
O1 = {quedan libres A y B, el guardia informa que B será liberado}
O2 = {quedan libres A y C, el guardia informa que C será liberado}
O3 = {quedan libres B y C, el guardia informa que B será liberado}
O4 = {quedan libres B y C, el guardia informa que C será liberado}
En esta situación A es liberado si ocurre O1 u O2. Observe que O1 es equivalente a seleccionar {A, B} por lo que O1 tiene probabilidad 1/3 y análogamente O2 es equivalente a seleccionar {A, C} que también tiene probabilidad 1/3. Entonces la probabilidad de liberar a A sigue siendo 1/3 + 1/3 = 2/3; y concluimos que la información suministrada por el guardia no altera las posibilidades de A de salir libre.
Fuente imagen:
La vida es una rayuela
