La paradoja del cumpleaños

La teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en paradojas, verdades que chocan tan fuertemente con el sentido común, que son difíciles de creer aún después de habernos enfrentado con sus pruebas.
Estima cual es el tamaño mínimo que debería tener un grupo para que sea más probable que improbable que dos personas compartan el día del cumpleaños
¿Cuántas personas necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor del 50%?. Piensa en una cifra antes de seguir leyendo.
La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es del 100% para 367 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos). En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%.
Calcular esta probabilidad es el problema del cumpleaños. La teoría fue descrita en American Mathematical Monthly en 1938 en la teoría de Estimación del total de población de peces en un lago de Zoe Emily Schnabel, bajo el nombre de captura-recaptura estadística.


Enunciado de la paradojaLa paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es casi del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos).

En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Cuando se propone este problema por primera vez y se pide una estimación sobre el tamaño mínimo que debería tener un grupo para que sea más probable que improbable que dos personas compartan el día del cumpleaños, la mayoría de las personas se equivoca por completo.


La respuesta intuitiva que se da a menudo es 183, es decir 365 dividido entre dos. La cantidad correcta no es algo a lo que la gente pueda llegar fácilmente y, ciertamente, no por intuición. Es bastante extraño que las primeras estimaciones sean inferiores a 40. Y sin embargo la respuesta es 23..
La clave para entender estas "sorprendentes" recurrencias es pensar que hay muchas posibilidades de encontrar parejas que cumplan años el mismo día.
Un análisis superficial asume que 23 días (cumpleaños de las 23 personas) es una fracción demasiado pequeña del posible número de días distintos (365) para esperar repeticiones. Y así sería si esperáramos la repetición de un día dado. Pero las repeticiones, en el caso supuesto, pueden darse entre dos días cualesquiera, con lo que éstas pueden combinarse entre sí de un número de formas que aumenta rápidamente con el número de elementos a considerar. Así:
• Entre dos personas C1 y C2 sólo cabe una posibilidad de repetición de cumpleaños: Cl=C2.
• Con tres ya hay tres posibilidades (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3).
• Con cuatro ya habría seis, (4x3)/2=6 .
• Con un grupo de 10 personas, (10x9)/2=45 posibilidades
• Con 23 personas, hay (23×22)/2 = 253 parejas distintas, cada uno de ellas es una candidata potencial para cumplir la paradoja
• Y así sucesivamente, en uno de 40, ya son 780 las parejas, y 1770 si juntamos 60 personas.
No hay que malinterpretar lo que nos dice esta paradoja: Si entramos en una habitación con 22 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es mucho más baja, sólo hay un 6% de probabilidades. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 parejas posible y se necesitan 253 personas para que haya más de un 50% de probabilidades de que esto ocurra.
El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.



Fuentes: Weblog hijos de Eva
Wikipedia
Imagen: Birthday paradox.png